C3.8T · STATISTICAL PN.2 AUDIT

分支可区分时的精度界限

C3.8T 审计确认：在最坏分支的期望度量损失下，候选下界成立。明确假设、完整证明、达到等号的例子与反例共同界定该结果及其物理解释。

伊万·鲍里索维奇·库尔皮舍夫 · 库尔皮舍夫逻辑 2 · 2026 年 9 月 6 日

$\mathcal R_R\mathcal R_D\geq\frac{\|K\|\Delta_D}{4}(1-\tau)^2$

数学审计：在 A1–A6 下通过
规范文本补丁：尚未应用
物理验证：尚未进行

PN.2 公式工作台

16 个 PN.2 公式、下界计算、c 分离检验以及已核实证明页的直接链接。

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究竟证明了什么

公式相乘的是两个分别在分支上取最大值的期望误差。它既不是误差乘积的期望，也不一定是同一个最坏分支中的风险乘积。允许随机化，不要求误差相互独立。

$\mathcal R_X=\max_{b\in\{L,R\}}\mathbb E_b\,d_X(\widehat X,X_b),\quad\tau=\operatorname{TV}(P_L,P_R)$

假设 A1–A6

A1 · 完整观测

固定同一协议、同一可测空间与两个分布 P_L、P_R。Y 包含所有可用特征及重复测量。

A2 · 目标与度量

每个坐标有两个固定目标，损失可测且为度量，目标间距 Δ 有限。

A3 · 共同决策规则

两个分支使用同一估计器或马尔可夫核。有关分支的额外信息必须纳入数据。

A4 · 有限期望损失

风险是度量误差的 max_b E_b，不能替换为方差、某次误差或任意先验加权平均。

A5 · PN.2 坐标

S、D 使用绝对损失；R 使用范数损失。在同一赋范空间中明确 K = r_L − r_R。

A6 · 同一实验

各坐标对应同一分支对及同一统计实验。c 形式还要求 Δ_S ≥ c‖K‖。

通过分布公共部分证明

令 μ = P_L + P_R，p、q 为关于 μ 的密度。公共子测度 ν 的密度为 min(p,q)，不超过任一概率测度，其总质量为 1 − τ。

$d\nu=\min(p,q)\,d\mu,\qquad\nu(\mathcal Y)=1-\tau$

对任意动作，两个度量误差之和不小于目标间距。对同一决策核积分后，该不等式仍成立。

$\int[d_X(a,x_L)+d_X(a,x_R)]Q_X(da\mid y)\geq\Delta_X$

利用损失非负性并对 ν 积分，风险之和至少为 Δ(1 − τ)。最大值不小于两者平均值，从而得到 T1。

$\begin{aligned}r_{X,L}+r_{X,R}&\geq\int(L_L+L_R)\,d\nu\\&\geq\Delta_X(1-\tau)\end{aligned}$

分别对 S、D、R 应用 T1，再相乘非负下界，得到 T2-S、T2-R；满足 c 分离时还得到 T2-c。

$\mathcal R_X\geq\frac{\Delta_X}{2}(1-\tau)$

$\mathcal R_S\mathcal R_D\geq\frac{\Delta_S\Delta_D}{4}(1-\tau)^2$

$\mathcal R_S\mathcal R_D\geq\frac{c\|K\|\Delta_D}{4}(1-\tau)^2$

边界情形 τ = 0 与 τ = 1

τ = 0

观测分布相同，恢复系数 1/2 与 1/4。在赋范空间内，若允许选择中点，可达到等号。一般度量空间未必存在中点。

τ = 1

两个测度互相奇异，下界为零。若允许选择两个目标动作，存在无误差规则；任意估计器并不因此都准确。

达到等号的模型：擦除信道

观测以概率 τ 揭示分支，否则给出共同符号 ⊥；估计器在该符号处返回中点。这一模型达到等号，并说明为什么需要重叠量的平方。

分支可区分度 ττ = 0.50

‖K‖ = 2 时的 R 风险: 0.5000
Δ_D = 3 时的 D 风险: 0.7500
风险乘积: 0.3750

这些数值属于所选单位下的模型信道，用于说明定理，不是物理 PN.2 的测量结果。

离散与连续例子

D1 · 擦除

Y ∈ {L, ⊥, R}；P_L = (τ, 1 − τ, 0)，P_R = (0, 1 − τ, τ)。每项风险为 Δ(1 − τ)/2，因此对每个 τ < 1，系数 1/4 都不可普遍提高。

D2 · 二元信道

P_L(1) = q，P_R(1) = 1 − q，0 ≤ q ≤ 1/2。此时 τ = 1 − 2q，按标签选择目标的风险为 qΔ。

D3 · 非对称

P_L = (1, 0)，P_R = (1/2, 1/2)，目标为 0、1。τ = 1/2 时下界为 1/4，但极小极大风险为 1/3：TV 不决定任意实验的精确风险。

C1 · 均匀平移

Unif[0,1] 与 Unif[t,1+t]，0 ≤ t ≤ 1。在重叠处选择中点；τ = t，每项风险为 Δ(1 − t)/2。

C2 · 正态分布

N(−a,σ²) 与 N(a,σ²)，a ≥ 0，σ > 0。τ = 2Φ(a/σ) − 1；按符号选择目标的风险为 ΔΦ(−a/σ)，达到下界。

对于 n 次独立正态观测，τ_n = 2Φ(√n a/σ) − 1。积累数据时不能沿用单次观测的可区分度。一般独立同分布情形满足 1 − τ_n ≥ (1 − τ)^n。

七种不成立的加强形式

CE1 · 每个分支

分布相同、目标为 0 与 1 时，恒取 0 的估计使 r_L = 0。下界约束的是最大值。

CE2 · 共同最坏分支

目标为 (0,0)/(1,1)，估计为 (0,1)，则风险为 (0,1)/(1,0)。乘积的最大值为 0，而最大值的乘积为 1。

CE3 · 乘积期望

随机选择 (0,1)/(1,0)，每个坐标的期望误差均为 1/2，但每次误差乘积恒为零。

CE4 · 一次方

τ = 1/2、目标间距均为 1 时，擦除模型给出 1/16；假设下界 (1 − τ)/4 = 1/8 被违反。

CE5 · 标准差

即使目标不同，常量估计器的方差仍为零。平方损失需要不同公式与单位。

CE6 · 任意先验权重

分布相同且左目标先验概率为 0.9 时，估计 0 的贝叶斯风险为 0.1，小于 1/2。

CE7 · 筛选与免费拒答

排除 ⊥ 后的条件风险可以为零。必须报告覆盖率并采用新的条件实验；免费 ABSTAIN 不满足度量损失假设。

方法归属与证据边界

一般两点下界属于经典 Le Cam 方法。PN.2 的具体设置提供 S、𝔇、R 坐标、结构间距 K 及应用条件；不主张一般统计方法本身是项目的新发现。

风险与对应目标间距具有相同单位；τ 无量纲。仪器应用需要真实 P_L/P_R、校准、损失与系统误差预算。本审计不建立 ‖K‖ 与 ℏ 的等同关系。

规范文本须另行决定

建议增加条件性统计附录，包含 A1–A6、T1/T2、反例及经典决策理论的来源。按 C3.8T 计划，纳入规范文本须由作者另行决定。原候选内容已保存；尚未进行独立审查。

物理 PO 与 F 状态保持不变。truth_layer_promotion=0 · EXT_RUN=NOT_RUN · NO_LOSS_FREEZE=BLOCKED。

完整证明与来源

完整俄文论文共 8 页，涵盖假设、T1/T2 证明、精确例子、七个反例、单位与参考文献。27 项计算检查复现例子，不能替代数学证明。

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