C3.8T · STATISTICAL PN.2 AUDIT

Предел точности при различимых ветвях

Аудит C3.8T подтверждает кандидатную оценку для худшего ожидаемого метрического риска. Явные предпосылки, доказательство, точные примеры и контрпримеры отделяют этот результат от более сильных физических утверждений.

Курпишев Иван Борисович · «ЛОГИКА КУРПИШЕВА 2» · 6 сентября 2026 года

$\mathcal R_R\mathcal R_D\geq\frac{\|K\|\Delta_D}{4}(1-\tau)^2$

Аудит математики: пройден при A1–A6
Канонический патч: не применён
Физическая проверка: не проведена

Рабочий блок формул ПН.2

16 формул ПН.2, расчёт нижних границ, контроль c-разделения и переход к точным страницам доказательства.

Открыть рабочий блок формул

Что именно доказано

В формуле перемножаются два максимума ожидаемой ошибки по ветвям. Это не ожидание произведения ошибок и не обязательно произведение рисков одной общей худшей ветви. Допускается рандомизация, а независимость ошибок не требуется.

$\mathcal R_X=\max_{b\in\{L,R\}}\mathbb E_b\,d_X(\widehat X,X_b),\quad\tau=\operatorname{TV}(P_L,P_R)$

Предпосылки A1–A6

A1 · Полные данные

Один фиксированный протокол, одно измеримое пространство, два закона P_L и P_R. Y включает все доступные признаки и повторные измерения.

A2 · Цели и метрика

Две фиксированные цели каждой координаты, измеримая метрическая потеря и конечный разрыв Δ.

A3 · Общее правило

Одна оценка или одно марковское ядро для обеих ветвей. Любая дополнительная информация о ветви должна входить в данные.

A4 · Конечные ожидаемые потери

Риск — max_b E_b метрической ошибки. Он не заменяется дисперсией, отдельной реализацией ошибки или произвольным априорным средним.

A5 · Координаты ПН.2

S и D имеют абсолютную потерю; R — нормовую. Равенство K = r_L − r_R задаётся в одном нормированном пространстве.

A6 · Одна постановка

Координаты относятся к одной паре ветвей и одному эксперименту. Для c-формы дополнительно требуется Δ_S ≥ c‖K‖.

Доказательство через общую часть мер

Возьмём μ = P_L + P_R и производные p, q по μ. Общая субмера ν имеет плотность min(p,q), доминируется обеими вероятностными мерами и имеет массу 1 − τ.

$d\nu=\min(p,q)\,d\mu,\qquad\nu(\mathcal Y)=1-\tau$

Для каждого действия сумма двух метрических ошибок не меньше расстояния между целями. Интегрирование по одному и тому же решающему ядру сохраняет это неравенство.

$\int[d_X(a,x_L)+d_X(a,x_R)]Q_X(da\mid y)\geq\Delta_X$

Интегрируя по ν и используя неотрицательность потерь, получаем сумму рисков не меньше Δ(1 − τ). Максимум не меньше полусуммы — это T1.

$\begin{aligned}r_{X,L}+r_{X,R}&\geq\int(L_L+L_R)\,d\nu\\&\geq\Delta_X(1-\tau)\end{aligned}$

Применяем T1 отдельно к S, D и R, затем перемножаем неотрицательные нижние границы. Получаются T2-S, T2-R и, при c-разделимости, T2-c.

$\mathcal R_X\geq\frac{\Delta_X}{2}(1-\tau)$

$\mathcal R_S\mathcal R_D\geq\frac{\Delta_S\Delta_D}{4}(1-\tau)^2$

$\mathcal R_S\mathcal R_D\geq\frac{c\|K\|\Delta_D}{4}(1-\tau)^2$

Пределы τ = 0 и τ = 1

τ = 0

Законы данных совпадают: возвращаются коэффициенты 1/2 и 1/4. В нормированном пространстве допустимая оценка в середине достигает равенства. В произвольной метрике середина может отсутствовать.

τ = 1

Меры взаимно сингулярны; нижняя граница нулевая. При доступности обеих целевых точек существует безошибочное правило. Произвольная оценка от этого не становится точной.

Точная модель: канал стирания

С вероятностью τ данные раскрывают ветвь, иначе дают общий символ ⊥. На нём оценка возвращает середину. Эта модель достигает равенства и показывает, почему нужна вторая степень перекрытия.

Различимость ветвей ττ = 0.50

Риск R при ‖K‖ = 2: 0.5000
Риск D при Δ_D = 3: 0.7500
Произведение рисков: 0.3750

Числа относятся к модельному каналу и выбранным единицам. Это иллюстрация теоремы, а не измерение физической ПН.2.

Дискретные и непрерывные примеры

D1 · Стирание

Y ∈ {L, ⊥, R}; P_L = (τ, 1 − τ, 0), P_R = (0, 1 − τ, τ). Риски равны Δ(1 − τ)/2: константа 1/4 точна для каждого τ < 1.

D2 · Двоичный канал

P_L(1) = q, P_R(1) = 1 − q, 0 ≤ q ≤ 1/2. Тогда τ = 1 − 2q, а риск правила по метке равен qΔ.

D3 · Асимметрия

P_L = (1, 0), P_R = (1/2, 1/2), цели 0 и 1. При τ = 1/2 граница равна 1/4, но минимаксный риск равен 1/3: TV не определяет точный риск любого эксперимента.

C1 · Равномерный сдвиг

Unif[0,1] и Unif[t,1+t], 0 ≤ t ≤ 1. На перекрытии выбирается середина; τ = t, каждый риск Δ(1 − t)/2.

C2 · Нормальные законы

N(−a,σ²) и N(a,σ²), a ≥ 0, σ > 0. Здесь τ = 2Φ(a/σ) − 1; оценка по знаку даёт риск ΔΦ(−a/σ) и достигает границы.

Для n независимых нормальных наблюдений τ_n = 2Φ(√n a/σ) − 1. Нельзя сохранять различимость одиночного наблюдения при накоплении данных. В общей независимой одинаково распределённой модели 1 − τ_n ≥ (1 − τ)^n.

Семь недопустимых усилений

CE1 · Каждая ветвь

При одинаковых данных, целях 0 и 1, постоянная оценка 0 имеет r_L = 0. Нижняя граница относится к максимуму.

CE2 · Произведение в общей ветви

Для целей (0,0)/(1,1) и оценки (0,1) получаем риски (0,1)/(1,0). Максимум произведений равен 0, произведение максимумов — 1.

CE3 · Ожидание произведения

Случайный выбор (0,1)/(1,0) даёт ожидаемые ошибки 1/2 по каждой координате, но произведение ошибок всегда нулевое.

CE4 · Первая степень

При τ = 1/2 и единичных разрывах канал стирания даёт 1/16. Предполагаемая граница (1 − τ)/4 = 1/8 нарушается.

CE5 · Стандартные отклонения

У постоянной оценки дисперсия равна нулю даже при разных целях. Среднеквадратичная потеря требует отдельной формулы и размерности.

CE6 · Любые априорные веса

При одинаковых данных и вероятности левой цели 0,9 постоянная оценка 0 даёт байесовский риск 0,1, меньший 1/2.

CE7 · Отбор и бесплатный отказ

После исключения символов ⊥ условный риск может стать нулевым. Нужно учитывать покрытие и новую условную модель; бесплатный ABSTAIN не удовлетворяет метрической предпосылке.

Авторство метода и доказательные границы

Общая двухточечная оценка принадлежит классическому методу Ле Кама. Вклад постановки ПН.2 здесь — координаты S, 𝔇, R, структурный разрыв K и условия их применения. Новизна общего статистического метода не заявляется.

Единицы рисков совпадают с единицами соответствующих разрывов; τ безразмерна. Для прибора нужны реальные P_L/P_R, калибровка, потери и бюджет систематических ошибок. Связь ‖K‖ с ℏ этим аудитом не устанавливается.

Отдельное решение о каноне

Рекомендовано условное статистическое приложение с A1–A6, T1/T2, контрпримерами и ссылками на классическую теорию решений. Его включение требует отдельного авторского решения по плану C3.8T. Исходный кандидат сохранён; независимая экспертиза не выполнена.

Физические PO и F сохраняют прежние статусы. truth_layer_promotion=0 · EXT_RUN=NOT_RUN · NO_LOSS_FREEZE=BLOCKED.

Полное доказательство и источники

Полный русский текст содержит 8 страниц: предпосылки, доказательства T1/T2, точные примеры, семь контрпримеров, размерности и библиографию. 27 расчётных проверок воспроизводят примеры; они не заменяют математическое доказательство.

Полный аудит · PDF Исходный TeX Комплект воспроизводимости · ZIP Реестр доказательных привязок