1 Предмет аудита и заключение

Аудируется кандидат PN2-SD-C3.8N-v0.1 из проекта «ЛОГИКА КУРПИШЕВА 2». Исходный пакет уже определяет риски как максимум по двум ветвям от математического ожидания метрической ошибки и предлагает доказательство через общую субмеру распределений. Настоящий текст разворачивает этот довод, фиксирует его предпосылки, проверяет точность констант и отделяет верные выводы от недопустимых усилений.

Заключение: кандидатная оценка корректна при предпосылках A1–A6 ниже. Для каждого общего, не зависящего от истинной ветви решающего правила с конечными рисками

$$\mathcal R_R\mathcal R_D\geq \frac{\|K\|\Delta_D}{4}(1-\tau)^2, \qquad \tau=\operatorname{TV}(P_L,P_R). \tag{T2}$$

Константа и зависимость от полного вариационного расстояния не могут быть улучшены универсально. Оценка не утверждает положительной нижней границы для произведения ошибок в каждом опыте, для его математического ожидания, для произведения рисков одной общей худшей ветви или для произведения стандартных отклонений.

Статус результата: математический аудит пройден при явно заданных предпосылках. Включение в канон не выполнено: предлагается отдельное условное статистическое приложение. Канонический C3.8N и исходные научные файлы сохранены. Независимое рецензирование и физическая проверка не проведены. truth_layer_promotion=0, EXT_RUN=NOT_RUN.

2 Обозначения и явные предпосылки

A1. Один фиксированный эксперимент. На одном измеримом пространстве $(\mathcal Y,\mathcal F)$ заданы вероятностные меры $P_L,P_R$. Под $Y$ понимается весь доступный решающему правилу протокол данных, включая дополнительные признаки и результаты повторных измерений. Управляющий протокол $u$ зафиксирован; при его изменении применяется отдельная оценка с $P_L^u,P_R^u$.

A2. Две фиксированные цели. Для координаты $X$ заданы точки $x_L,x_R$ в метрическом пространстве $(\mathcal X_X,d_X)$; функция потерь $d_X(a,x_b)$ измерима по действию $a$. Расстояние $\Delta_X=d_X(x_L,x_R)$ конечно. Ни разделимость данных, ни наличие плотности относительно меры Лебега не предполагаются.

A3. Общее правило. Оценка задаётся одним марковским ядром $Q_X(da\mid y)$, используемым в обеих ветвях. Детерминированная оценка является частным случаем $Q_X=\delta_{\widehat x(y)}$. Рандомизация допустима, но её закон условно по данным не зависит от неизвестной ветви. Любая фактически доступная подсказка о ветви должна входить в $Y$; она может увеличить различимость.

A4. Метрические ожидаемые потери. Определены конечные неотрицательные риски

$$r_{X,b}=\int_{\mathcal Y}\int_{\mathcal X_X} d_X(a,x_b)\,Q_X(da\mid y)P_b(dy),\qquad \mathcal R_X=\max\{r_{X,L},r_{X,R}\}. \tag{1}$$

Именно эти величины перемножаются в (T2). Конечность исключает неопределённость вида $0\cdot\infty$; отдельная одномерная нижняя оценка сохраняет смысл и для бесконечного риска. Свободный отказ с нулевой потерей в обеих ветвях не является метрической потерей между различными целями.

A5. Подстановка координат ПН.2. Для $S,D$ берутся реальные значения $s_b,d_b$ и абсолютная потеря; $\Delta_S=|s_L-s_R|$, $\Delta_D=|d_L-d_R|$. Для $R$ фиксируются точки $r_L,r_R$ в одном нормированном линейном пространстве и равенство $K=r_L-r_R$, так что $\Delta_R=\|K\|$. Эта идентификация должна быть обоснована в конкретной модели: одного обозначения «ассоциатор $K$» недостаточно.

A6. Совместимость постановки. Обе координаты относятся к одной паре ветвей и одному информационному эксперименту. Отдельные ядра оценивания могут различаться и быть сколь угодно зависимыми через данные; независимость ошибок не требуется. Если оценивающие устройства получают разные наблюдения, безопасная общая постановка использует весь доступный совместный протокол. Для отдельной $c$-формы дополнительно требуется $\Delta_S\geq c\|K\|$ с $c\geq0$.

При нулевом расстоянии или $\tau=1$ соответствующая нижняя граница равна нулю. Положительная граница требует одновременно положительных расстояний и $\tau<1$.

3 Общая субмера и её масса

Положим $\mu=P_L+P_R$, $p=dP_L/d\mu$, $q=dP_R/d\mu$ и

$$\nu(A)=\int_A\min\{p,q\}\,d\mu. \tag{2}$$

Тогда $\nu\leq P_L,P_R$. Используется нормировка

$$\tau=\sup_{A\in\mathcal F}|P_L(A)-P_R(A)| =\frac12\int|p-q|\,d\mu\in[0,1]. \tag{3}$$

Действительно, интеграл $p-q$ равен нулю; его положительная и отрицательная части имеют одинаковые интегралы. Множество $\{p\geq q\}$ достигает супремума. Из тождества $2\min(p,q)=p+q-|p-q|$ следует

$$\nu(\mathcal Y)=1-\tau. \tag{4}$$

Построение применимо и к дискретным, и к непрерывным, и к смешанным распределениям. Нормированные «плотности общей части» при $\tau=1$ не нужны: субмера тогда просто нулевая.

4 Теорема T1: риск одной координаты

Теорема T1. При A1–A4 для всякого допустимого решающего правила

$$\boxed{\mathcal R_X\geq\frac{\Delta_X}{2}(1-\tau).} \tag{T1}$$

Доказательство. Обозначим $L_b(y)=\int d_X(a,x_b)Q_X(da\mid y)$. Для каждого действия метрическое неравенство даёт

$$d_X(a,x_L)+d_X(a,x_R)\geq\Delta_X. \tag{5}$$

Интегрирование по одному и тому же вероятностному ядру $Q_X$ сохраняет нижнюю границу: $L_L(y)+L_R(y)\geq\Delta_X$. Поэтому, используя неотрицательность потерь, доминирование мер и теорему Тонелли, получаем

$$\begin{aligned} r_{X,L}+r_{X,R} &=\int L_L\,dP_L+\int L_R\,dP_R\\ &\geq\int(L_L+L_R)\,d\nu\\ &\geq\Delta_X\nu(\mathcal Y) =\Delta_X(1-\tau). \end{aligned} \tag{6}$$

Максимум двух чисел не меньше их полусуммы. Это доказывает (T1). Доказательство не использует плотности относительно Лебега, независимость координат или детерминированность оценивания. $\square$

Формула (1) задаёт риск фиксированного правила. Если класс допустимых правил $\mathcal Q$ непуст, то собственно минимаксный риск

$$\mathcal R_X^*=\inf_{Q_X\in\mathcal Q}\max_b r_{X,b}(Q_X) \geq\frac{\Delta_X}{2}(1-\tau) \tag{7}$$

следует взятием инфимума; существование минимизатора не требуется. Равновесная полусумма в доказательстве не означает, что эксперимент предполагает физически заданные равные априорные вероятности ветвей.

5 Теорема T2: статистические формы ПН.2

Применяя T1 к координатам A5, получаем

$$\mathcal R_S\geq\frac{\Delta_S}{2}(1-\tau),\qquad \mathcal R_D\geq\frac{\Delta_D}{2}(1-\tau),\qquad \mathcal R_R\geq\frac{\|K\|}{2}(1-\tau). \tag{8}$$

Произведение двух конечных неотрицательных величин не меньше произведения их неотрицательных нижних границ. Следовательно,

$$\boxed{\mathcal R_S\mathcal R_D\geq \frac{\Delta_S\Delta_D}{4}(1-\tau)^2,} \tag{T2-S}$$

$$\boxed{\mathcal R_R\mathcal R_D\geq \frac{\|K\|\Delta_D}{4}(1-\tau)^2.} \tag{T2-R}$$

При дополнительной $c$-разделимости из A6

$$\boxed{\mathcal R_S\mathcal R_D\geq \frac{c\|K\|\Delta_D}{4}(1-\tau)^2.} \tag{T2-c}$$

Максимумы, определяющие разные $\mathcal R_X$, не обязаны достигаться в одной ветви. Произведение ожиданий не заменяется ожиданием произведения. Для каждого совместного правила T2 верна, поэтому верна и нижняя граница для инфимума произведения по общему непустому классу правил. Для произведения отдельных минимаксных рисков она также следует из (7), хотя отдельные оптимальные правила могут не реализовываться одним физическим прибором.

6 Граничные случаи и точность

При $\tau=0$ распределения совпадают. T1 даёт $\mathcal R_X\geq\Delta_X/2$, а T2 восстанавливает коэффициент $1/4$. Если действия допускают середину отрезка между двумя целями в нормированном пространстве, постоянная оценка в середине имеет обе ошибки $\Delta_X/2$ и достигает равенства. В произвольном метрическом пространстве середины может не существовать; это не нарушает нижнюю оценку. Совпадение коэффициентов не отождествляет все статистические риски с прежними детерминированными величинами $e_X$.

При $\tau=1$ меры взаимно сингулярны, и граница равна нулю. Существует измеримое множество $A$ с $P_L(A)=1$, $P_R(A)=0$; если обе целевые точки доступны как действия, правило, выбирающее $x_L$ на $A$ и $x_R$ вне $A$, имеет нулевой риск. Это утверждение о существовании правила, а не о безошибочности всякой оценки.

Если $\Delta_S=0$, нельзя сохранять положительную $c$-форму при $c>0$, $\|K\|>0$: нарушается сама предпосылка $c$-разделимости.

7 Дискретные примеры

D1. Симметричный канал стирания. Пусть $Y\in\{L,\bot,R\}$,

$$P_L=(\tau,1-\tau,0),\qquad P_R=(0,1-\tau,\tau),\quad 0\leq\tau\leq1. \tag{9}$$

На метках $L,R$ оценка возвращает соответствующую цель, на $\bot$ — середину. Полное вариационное расстояние равно $\tau$, и каждый из двух рисков равен $\Delta_X(1-\tau)/2$. Одно совместное правило достигает равенства в T2 для обеих координат. Поэтому коэффициент $1/4$ оптимален для каждого значения $\tau<1$ в классе рассматриваемых экспериментов. Это не доказывает наличие такого канала в физической реализации ПН.2.

D2. Симметричный двоичный канал. Пусть $P_L(Y=1)=q$, $P_R(Y=1)=1-q$, $0\leq q\leq1/2$. Тогда $\tau=1-2q$. Правило $Y=0\mapsto x_L$, $Y=1\mapsto x_R$ даёт оба риска $q\Delta_X$ и достигает T1; произведение равно $q^2\Delta_X\Delta_D$.

D3. Неравенство не всегда является тождеством. Для $P_L=(1,0)$, $P_R=(1/2,1/2)$, целей $0,1$ и абсолютной потери имеем $\tau=1/2$, нижнюю границу $1/4$. Можно ограничить действия отрезком $[0,1]$ проекцией, не увеличивающей потери. Пусть действия на двух исходах равны $a,b$. Риски равны $a$ и $(1-a)/2+(1-b)/2$; оптимально $b=1$, $a=1/3$. Следовательно, минимаксный риск равен $1/3>1/4$. Само значение TV не определяет точный минимаксный риск произвольного эксперимента.

8 Непрерывные примеры

C1. Сдвинутые равномерные распределения. Возьмём $P_L=\mathrm{Unif}[0,1]$, $P_R=\mathrm{Unif}[t,1+t]$, $0\leq t\leq1$. Перекрытие носителей имеет длину $1-t$, и $\tau=t$. На $[0,t)$ возвращается $x_L$, на $[t,1]$ — середина, на $(1,1+t]$ — $x_R$. Каждая ошибка интегрируется только по общей части и даёт $\Delta_X(1-t)/2$. Граничные точки не влияют на интеграл. T1 и T2 достигаются точно.

C2. Нормальный канал. Пусть $P_L=N(-a,\sigma^2)$, $P_R=N(a,\sigma^2)$, $a\geq0$, $\sigma>0$, а $\Phi$ — функция распределения стандартной нормали. Для $a>0$ сравнение плотностей меняет знак в нуле. Интегрируя их разность на положительной полуоси, находим

$$\tau=2\Phi(a/\sigma)-1,\qquad 1-\tau=2\Phi(-a/\sigma). \tag{10}$$

Правило по знаку $Y$ возвращает соответствующую цель. Каждая вероятность ошибочного выбора равна $\Phi(-a/\sigma)$; каждый риск равен $\Delta_X\Phi(-a/\sigma)$ и совпадает с T1. При $a=0$ та же формула верна, а полупространство делит одинаковую непрерывную меру пополам.

При $n$ независимых наблюдениях различимость определяется совместным законом. Достаточная статистика — среднее, его дисперсия $\sigma^2/n$, и

$$\tau_n=2\Phi(\sqrt n\,a/\sigma)-1. \tag{11}$$

Поэтому положительную границу для одного наблюдения нельзя автоматически сохранять при накоплении данных. Для произвольной пары независимых одинаково распределённых наблюдений общая часть удовлетворяет

$$1-\tau_n=\int\min\{\prod_i p_i,\prod_i q_i\} \geq\int\prod_i\min\{p_i,q_i\}=(1-\tau)^n. \tag{12}$$

Отсюда следует консервативная граница $\mathcal R_X\geq\Delta_X(1-\tau)^n/2$ для полного $n$-наблюдательного эксперимента. Независимость здесь существенна именно для представления совместных законов произведениями; в основной T1 она не нужна.

9 Контрпримеры к слишком сильным формам

CE1. Одна заданная ветвь. При $P_L=P_R$, целях $0,1$ и постоянной оценке $0$ имеем $r_L=0$, $r_R=1$. Нельзя требовать $r_b\geq(1-\tau)/2$ для каждого $b$.

CE2. Одна общая «худшая» ветвь. При тех же одинаковых данных две координаты имеют цели $(0,0)$ и $(1,1)$, а оценка постоянна и равна $(0,1)$. Тогда

$$(r_{X,L},r_{D,L})=(0,1),\qquad (r_{X,R},r_{D,R})=(1,0).$$

Поэтому $\max_b(r_{X,b}r_{D,b})=0$, хотя $\mathcal R_X\mathcal R_D=1$. T2 не устанавливает положительную нижнюю границу для первого выражения.

CE3. Ожидание произведения ошибок. Если при одинаковых распределениях оценка независимо от ветви с вероятностями $1/2,1/2$ выбирает $(0,1)$ и $(1,0)$, то в каждом опыте хотя бы одна координатная ошибка нулевая. Следовательно, $\max_b\mathbb E_b[e_Xe_D]=0$, но все четыре маргинальных ожидаемых ошибки равны $1/2$, а $\mathcal R_X\mathcal R_D=1/4$. Это одновременно пример достижения T2 и нарушения предполагаемой нижней границы для ожидания произведения.

CE4. Первая степень вместо квадрата. В D1 при $\tau=1/2$, $\Delta_X=\Delta_D=1$ произведение рисков равно $1/16$. Ошибочная усиленная правая часть $(1-\tau)/4$ равна $1/8$. Универсальная замена квадрата первой степенью невозможна.

CE5. Дисперсия вместо ошибки. У постоянной оценки стандартное отклонение равно нулю в обеих ветвях даже при разных целях. Поэтому произведение стандартных отклонений может быть нулевым при $\tau=0$, $\Delta_X\Delta_D>0$. Для квадратичной потери применимо иное неравенство: в нормированном пространстве $d(a,x_L)^2+d(a,x_R)^2\geq\Delta_X^2/2$, откуда максимальный среднеквадратичный риск не меньше $\Delta_X^2(1-\tau)/4$. После извлечения корня получается другая зависимость. Нельзя менять тип потери без изменения формулы и её размерности.

CE6. Неравные априорные веса. При одинаковых данных, целях $0,1$ и априорной вероятности левой ветви $0{,}9$ байесовская оценка $0$ имеет средний абсолютный риск $0{,}1$, меньший $1/2$. T1 относится к максимуму ветвевых рисков; она не является оценкой любого априорно взвешенного среднего.

CE7. Селекция и бесплатный отказ. В D1 можно оставить только исходы $L,R$, исключив $\bot$. При $\tau>0$ условный риск на оставшейся доле $\tau$ равен нулю. Это другой эксперимент: после условия удержания его ветви различимы. При бесплатном отказе на всех исходах вообще можно получить нулевую потерю, но нарушить метрическую предпосылку A4. Должны быть явно заданы покрытие, политика отказа и функция потерь; ABSTAIN нельзя одновременно считать отсутствующим измерением и нулевой научной ошибкой.

10 Связь с классической теорией решений

T1 — применение классического двухточечного метода Ле Кама к метрической потере. В [2, §1.1, теорема 1.2, с. 1] приведена общая граница с коэффициентом $1/(2\alpha)$ для потери с $\alpha$-неравенством треугольника; наш метрический случай соответствует $\alpha=1$. Исторический обзор взаимосвязи методов Ле Кама, Ассуада и Фано дан в [1]. Эти методы и саму общую двухточечную границу не следует приписывать проекту KLT-RBD как новое открытие.

Авторская постановка проекта здесь состоит в выборе координат $S,\mathfrak D,R$, структурного разрыва $K$, границ применимости и интерфейса физического паспорта ПН.2. Подстановка этих величин и произведение двух нижних границ — условное следствие классической схемы. Самостоятельная новизна конкретной физической интерпретации этим аудитом не установлена.

При равных априорных весах минимальная вероятность ошибки различения двух простых гипотез равна $(1-\tau)/2$ [2, приложение A, с. 3]. Эта статистическая связь объясняет роль перекрытия. Она не превращает информационную нижнюю границу в подтверждённый универсальный физический закон.

11 Размерности и переход к эксперименту

$$[\mathcal R_S]=[\Delta_S]=[S],\quad [\mathcal R_D]=[\Delta_D]=[D],\quad [\mathcal R_R]=[\|K\|]=[R],\quad[\tau]=1. \tag{13}$$

В $c$-форме $[c]=[S]/[R]$. Аудит не отождествляет $\|K\|$ с $\hbar$ и не задаёт размерность структурной координаты без паспорта.

Для применения к прибору необходимы реализуемые ветви, их подготовка и полные законы данных, конкретная потеря, правила оценивания, систематические ошибки, единицы и калибровка. Если известно только $\tau\leq\overline\tau<1$, можно использовать консервативную правую часть с $\overline\tau$. Нижняя оценка для TV или успешный различающий классификатор сами по себе такой положительной нижней границы риска не удостоверяют. Для оценённого по выборке ограничения должны быть указаны его вероятностное покрытие и условия модели.

Физические PO-1–PO-8 и PO-10 этим текстом не закрываются. PO-9/11/12 сохраняют прежние абстрактные статусы. F-1–F-14 остаются открытыми физическими гипотезами. Закрытия на октонионной кандидатной ветви, если они имеются в других материалах, не переносятся на физический канон этим аудитом.

12 Проверка примеров и воспроизводимость

К выпуску приложен скрипт verify_statistical_audit.py. Он проверяет точные рациональные дискретные примеры, сравнивает выбранные двоичные эксперименты с независимой задачей линейного программирования, вычисляет интегралы равномерного и нормального примеров и проверяет численные свидетели CE1–CE7. Результаты сохраняются в отдельном JSON с версиями используемых библиотек.

Эти вычисления проверяют примеры и согласованность чисел; они не заменяют доказательство T1/T2 и не являются машинно проверенным формальным доказательством либо независимым экспериментальным EXT-RUN.

13 Решение о каноне и реестр статусов

Предложение о каноническом приложении включает A1–A6, T1/T2, область действия произведения рисков, классическое авторство метода и физические ограничения. Для включения требуется отдельное авторское решение, предусмотренное планом C3.8T. Оно не подменяется публикацией аудита на выставочном сайте.

14 Источники

1. Yu, B. Assouad, Fano, and Le Cam. In: Pollard, D., Torgersen, E., Yang, G. L. (eds). Festschrift for Lucien Le Cam. Springer, 1997, pp. 423–435. DOI: 10.1007/978-1-4612-1880-7_29. Библиографические сведения сверены по издателю; полный платный текст для аудита не использовался.
2. Lecture 27: Reduction to hypothesis testing. Учебные материалы IISc, каталог курса 2025; §1.1, теорема 1.2, с. 1–2; приложение A, с. 3–4. Открытый PDF. Получен и прочитан 06.09.2026; четыре PDF-страницы. SHA-256: 1824d83ff5e85c563b5065d5f0f3dd3c6827ecad7ab0a08ef0bc296e38a73c5f.
3. Курпишев И. Б. C3.8N: PN.2 Physical Bridge / Statistical Extension. Кандидат PN2-SD-C3.8N-v0.1, исходные pn2-statistical-extension.json, pn2-statistical-extension.html, docs/C3_8N_PHYSICAL_BRIDGE_FORMALIZATION_RU.md. Пакет KURPISHEV_CLONE_C3_8N_PN2_PHYSICAL_BRIDGE_v2_7.zip; SHA-256 cd5ed8bcd02775c3f6eb38f72bf70e175e0f3c6745dd0811c2cbda22cfa0097c. Источник восстановлен из авторского комплекта; не изменялся.
4. Unified Exhibition v3.5: ARBD. Предыдущая опубликованная сборка единого сайта. SHA-256 полного ZIP dc52b08c4db47adfdce7103b050368757ce8ffd0a2bbe3efef0dc0cd5533c05b. Использована как неизменная точка наследования и отката.